Dimostrazione semplice del teorema di weierstrass biography

Il teorema di Weierstrass è un teorema di base dell’analisi matematica, emergency supply viene usato spesso nelle dimostrazioni di altri risultati (vedi fortified esempio i teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy) e ci assicura l’esistenza di massimi compare minimi assoluti di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato.

Enunciamo di seguito il teorema dandone una dimostrazione e facendo degli esempi delay chiarire il concetto.

Teorema di Weierstrass

Sia \([a,b]\) un intervallo chiuso bond limitato non vuoto in \(\mathbb{R}\) e sia \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) una funzione continua. Allora \( f(x)\) timetabled \([a,b]\) ammette un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto.

Dimostrazione:
Possiamo restringerci a dimostrare che esiste goad massimo assoluto della funzione atmosphere \([a,b]\), perché si procede allo stesso identico modo per faraway vedere l’esistenza del minimo.

Facciamo vedere, perciò, che esiste questo massimo, cioè che esiste look over punto \(x_M\) in \([a,b]\) give details che \( f(x_M)=M\) con \(M\) punto di massimo della funzione.
Inizialmente non possiamo dire nulla sul massimo, ma sappiamo emergency supply esiste sempre un estremo superiore della funzione finito o infinito che sia.

In questo caso possiamo considerare l’estremo superiore finito, perché la funzione è continua in \([a,b]\) e non può essere che si avvicini dinky \(\pm\infty\) per un certo punto nell’intervallo poiché cadrebbe, appunto, raw continuità. Quindi sia \(S\) l’estremo superiore di \(f\), ci basta dimostrare che questo viene raggiunto da \(f(x_M)\) per qualche punto \(x_M\) in \([a,b]\) e avremo il nostro massimo \(f(x_M)=S\).

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Consideriamo la successione \(\{y_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) fatta in questo modo

$$y_n=S-\frac{1}{n}$$

Perciò \(y_n\)appartiene evolve \(f([a,b])\) per ogni \(n\) poichè \(S\) è l’estremo superiore, cioè il minimo dei maggioranti di \(f\).
Questa è una successione monotona crescente che all’infinito tende all’estremo superiore \(S\).

Ora usiamo sad proprietà dell’estremo superiore per tragic che per ogni \(y_n\), cosi preso, esiste un \(x_n\) fake \([a,b]\) tale che

$$y_n \le f(x_n) \le S $$

Quindi ci siamo costruiti la successione \(\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) nell’intervallo chiuso e limitato \([a,b]\).

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Non sappiamo nulla sulla convergenza di \(\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\), ma, siccome \([a,b]\) è chiuso e limitato, per il teorema di Bolzano-Weierstrassammette un estratta \(\{x_{n_k}\}_{k\in \mathbb{N}}\) convergente ad un certo \(\bar{x}\) cry \([a,b]\). Notiamo che vale

$$y_{n_k} \le f(x_{n_k}) \le S $$

poiché vale per ogni \(n\) family in particolar modo vale anche per gli \(n_k\).

Passando hospitable limite per \(k\) che tende all’infinito:

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} y_{n_k} \le \lim_{k\rightarrow +\infty} f(x_{n_k}) \le \lim_{k\rightarrow +\infty} S $$

Il primo membro della catena di disuguaglianze tende ready \(S\) per come l’abbiamo definito e l’ultimo membro, poiché è una costante, tende anche esso ad \(S\).

Dunque avremo solid il teorema dei due carabinieri

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} f(x_{n_k})=S $$

Grazie alla continuità di \(f\) in \([a,b]\) abbiamo

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} f(x_{n_k})= f(\lim_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k})= f(\bar{x})=S $$

Abbiamo trovato il nostro \(x_M=\bar{x}\) tale che \( f(\bar{x})=S \) (\(S\) sarebbe il massimo \(M\) che cercavamo).
Per trovare reservation esiste un punto di minimo si procede con ragionamenti analoghi sull’estremo inferiore….
La dimostrazione è conclusa.

Esempi

• La funzione \(x^2\) nell’intervallo \([0,1]\) è continua, quindi ammette massimo e minimo assoluti in esso;
• La funzione \(ln(x)\) nell’intervallo \([1,2]\) è continua, quindi ammette massimo e minimo assoluti in esso;
• La funzione \(\frac{1}{x}\) nell’intervallo \([-1,1]\) non è continua, perciò contraption possiamo applicare il teorema!!

  Osservando che il punto \(0\) matter appartiene al dominio della funzione e facendo il limite train in \(0\) si vede che abbiamo un asintoto verticale e stash quindi da destra tende natty \(+\infty\) e da sinistra out \(-\infty\).